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So lösen Sie Gleichungen mit einem Modul: Grundregeln

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Fast jeder Lehrer weiß, welche Probleme die Schüler mit dem Modul haben. Dies ist eines der schwierigsten Materialien, mit denen Studenten in Prüfungen konfrontiert sind.

Die Wahl des Themas beruht auf der Tatsache, dass zum einen häufig Probleme im Zusammenhang mit Absolutwerten bei mathematischen Olympiaden und Prüfungen auftreten und zum anderen dieses Konzept nicht nur in verschiedenen Abschnitten des Mathematikkurses, sondern auch in der höheren Mathematik weit verbreitet ist . In der mathematischen Analyse wird das Konzept des Absolutwerts einer Zahl zur Bestimmung der Grundbegriffe verwendet: Grenze, Begrenzung einer Funktion und andere. In der Theorie der Näherungsberechnungen wird das Konzept des absoluten Fehlers verwendet. In der Mechanik, in der Geometrie wird das Konzept eines Vektors untersucht, dessen eines Merkmal seine Länge ist (Vektormodul).
Trotz der Tatsache, dass sich das Thema „Zahlenmodul“ über den gesamten Schulverlauf und die höhere Mathematik erstreckt, wird für das Studium im Programm nur sehr wenig Zeit zur Verfügung gestellt (in der 6. Klasse - 2 Stunden, in der 8. Klasse - 4 Stunden).

Auf der Grundlage des Vorstehenden muss der Lehrer eine Vielzahl von methodischen Techniken finden und verschiedene Ansätze und Methoden anwenden, um das Lösen von Problemen mit dem Modul zu lehren. Eine Vielzahl von Methoden wird dazu beitragen, mathematisches Wissen bewusst zu verarbeiten, die Schüler in die schöpferische Tätigkeit einzubeziehen sowie eine Reihe methodischer Aufgaben zu lösen, die dem Lehrer im Lernprozess gestellt werden, insbesondere die Implementierung von intrasubjektbezogenen Verbindungen (Algebra-Geometrie), wodurch der Anwendungsbereich von Grafiken erweitert und die grafische Kultur der Schüler erweitert wird .

Diese Umstände bestimmten die Wahl des Themas der kreativen Arbeit. Zweck der Arbeit: Aufzeigen, dass das Thema "Gleichungen mit einem Modul lösen" im Lehrplan vertieft werden muss, um Richtlinien für die Verwendung verschiedener Methoden zur Lösung von Problemen mit dem Modul zu entwickeln. §1. Die wichtigsten Methoden zum Lösen von Gleichungen, die ein Modul enthalten.

Erinnern Sie sich an die grundlegenden Konzepte, die in diesem Thema verwendet werden. Eine Gleichung mit einer Variablen wird als Gleichheit bezeichnet, die eine Variable enthält. Die Wurzeln der Gleichung sind die Werte der Variablen, in denen sich die Gleichung in wahre Gleichheit verwandelt. Das Lösen einer Gleichung bedeutet, alle Wurzeln zu finden oder zu beweisen, dass es keine Wurzeln gibt. Eine Gleichung mit einem Modul ist eine Gleichheit, die eine Variable unter dem Vorzeichen des Moduls enthält.

Bei der Lösung von Gleichungen, die das Vorzeichen des Absolutwerts enthalten, basieren wir auf der Definition des Absolutwerts der Zahl und den Eigenschaften des Absolutwerts der Zahl.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, um Gleichungen mit einem Modul zu lösen. Betrachten wir jeden von ihnen genauer.

1 Weg. Methode zur sequentiellen Offenlegung des Moduls.

Beispiel 1. Wir lösen die Gleichung | x-5 | = 4.

Basierend auf der Definition des Moduls führen wir die folgenden Überlegungen aus. Wenn der Ausdruck unter dem Vorzeichen des Moduls nicht negativ ist, dh x-5 ≥ 0, hat die Gleichung die Form x-5 = 4. Wenn der Wert des Ausdrucks unter dem Vorzeichen des Moduls negativ ist, ist er per Definition gleich - (x-5) = 4 oder x-5 = -4. Durch Lösen der erhaltenen Gleichungen erhalten wir: x1 = 9, x2 = 1.
Antwort: 9, 1.
Lösen wir auf die gleiche Weise eine Gleichung, die "Modul in Modul" enthält.

Beispiel 2. Wir lösen die Gleichung || 2x-1 | -4 | = 6.

Ähnlich argumentierend betrachten wir zwei Fälle.
1). | 2x-1 | -4 = 6, | 2x-1 | = 10. Unter erneuter Verwendung der Definition des Moduls erhalten wir: 2x-1 = 10 oder 2x-1 = -10. Von wo x1 = 5,5, x2 = -4,5.
2). | 2x-1 | -4 = -6, | 2x-1 | = -2. Es ist klar, dass die Gleichung in diesem Fall keine Lösungen hat, da das Modul per Definition immer nicht negativ ist.
Antwort: 5.5, -4.5.
2 wege. Intervallmethode
Referenzinformationen:

Intervallmethode - Dies ist eine Methode zur Unterteilung der Zahlenreihe in Intervalle, in denen durch die Definition des Moduls das Vorzeichen des Absolutwerts entfernt werden kann. Für jede der Lücken ist es notwendig, die Gleichung zu lösen und eine Schlussfolgerung bezüglich der resultierenden Wurzeln zu ziehen. Wurzeln, die die Lücken füllen, geben die endgültige Antwort.

Beispiel 3. Wir lösen die Gleichung | x + 3 | + | x-1 | = 6.
Suchen Sie die Wurzeln (Nullen) jedes Ausdrucks, der unter dem Vorzeichen des Moduls enthalten ist: x + 3 = 0, x = -3, x-1 = 0, x = 1. Diese x-Werte teilen die Zahlenzeile in drei Leerzeichen auf:
-3 1

Wir lösen die Gleichung in jedem der resultierenden Intervalle separat. In der ersten Pause (x Davydova Natalya Alexandrovna 06.12.2011 192859 0

Ein bisschen Theorie

Also lass uns gehen. Beginnen wir mit dem Wichtigsten: Was ist ein Modul? Lassen Sie mich daran erinnern, dass der Modul einer Zahl einfach dieselbe Zahl ist, jedoch ohne Minuszeichen. Das ist zum Beispiel $ left | -5 right | = 5 $. Oder $ left | -129,5 right | = 129,5 USD.

Ist es so einfach Ja einfach Und was ist dann der Modul einer positiven Zahl? Hier ist es noch einfacher: Der Modul einer positiven Zahl ist gleich der Zahl selbst: $ left | 5 right | = 5 $, $ left | 129,5 right | = 129,5 $ usw.

Es stellt sich eine merkwürdige Sache heraus: Verschiedene Zahlen können das gleiche Modul haben. Zum Beispiel: $ left | -5 right | = left | 5 right | = 5 $, $ left | -129.5 right | = left | 129,5 right | = 129,5 $. Es ist leicht zu erkennen, welche Art von Nummern dies sind, für die die Module gleich sind: Diese Nummern sind entgegengesetzt. Daher stellen wir für uns selbst fest, dass die Module mit entgegengesetzten Zahlen gleich sind:

[ left | -a right | = left | a right | ]

Eine weitere wichtige Tatsache: Modul ist niemals negativ. Unabhängig davon, welche Zahl wir nehmen - sogar positiv oder sogar negativ -, ist der Modul immer positiv (oder im Extremfall Null). Aus diesem Grund wird das Modul oft als absoluter Wert der Zahl bezeichnet.

Wenn wir außerdem die Definition des Moduls für positive und negative Zahlen kombinieren, erhalten wir eine globale Definition des Moduls für alle Zahlen. Das heißt: Der Modul einer Zahl ist genau gleich dieser Zahl, wenn die Zahl positiv (oder null) ist, oder gleich der Gegenzahl, wenn die Zahl negativ ist. Sie können dies in Form einer Formel schreiben:

[ left | a right | = left < begin& a, quad a ge 0, & -a, quad a lt 0. end richtig. ]

Es gibt auch einen Nullmodul, der jedoch immer Null ist. Außerdem ist Null die einzige Zahl, die nicht das Gegenteil hat.

Betrachtet man also die Funktion $ y = left | x right | $ und versuche seine Grafik zu zeichnen, dann bekommst du so eine "Dohle":

Grafik des Moduls und ein Beispiel zur Lösung der Gleichung

Auf diesem Bild sehen Sie sofort, dass $ left | -m right | = left | m right | $, und der Graph des Moduls fällt niemals unter die Abszissenachse. Aber das ist noch nicht alles: Die rote Linie markiert die Linie $ y = a $, was uns bei positivem $ a $ gleich zwei Wurzeln gibt: $ <_ <1 >> $ und $ <_ <2 >> $, aber darüber reden wir später. :)

Neben einer rein algebraischen Definition gibt es eine geometrische. Angenommen, auf einer Zahlenlinie befinden sich zwei Punkte: $ <_ <1 >> $ und $ <_ <2 >> $. In diesem Fall ist der Ausdruck $ left | <_<1>>-<_ <2 >> right | $ ist einfach der Abstand zwischen den angegebenen Punkten. Oder, wenn Sie möchten, die Länge des Segments, das diese Punkte verbindet:

Das Modul ist der Abstand zwischen Punkten auf einer Zahlenlinie

Aus dieser Definition folgt auch, dass das Modul immer nicht negativ ist. Aber genug Definitionen und Theorie - lassen Sie uns zu diesen Gleichungen übergehen. :)

Grundformel

Gut mit einer Definition aussortiert. Aber das hat es nicht einfacher gemacht. Wie löse ich Gleichungen, die genau dieses Modul enthalten?

Ruhig, nur ruhig. Beginnen wir mit den einfachsten Dingen. Betrachten Sie etwas davon:

Das Modul $ x $ ist also gleich 3. Was kann gleich $ x $ sein? Nun, per Definition sind wir mit $ x = 3 $ ziemlich zufrieden. In der Tat:

Gibt es noch andere Nummern? Cap gibt sozusagen Hinweise darauf, was ist. Zum Beispiel $ x = -3 $ - auch für ihn $ left | -3 right | = 3 $, d.h. die geforderte gleichheit gilt.

Denken Sie also, wenn Sie suchen, werden wir vielleicht mehr Nummern finden? Aber abbrechen: Es gibt keine Zahlen mehr. Die Gleichung $ left | x right | = 3 $ hat nur zwei Wurzeln: $ x = 3 $ und $ x = -3 $.

Nun wollen wir die Aufgabe etwas komplizieren. Anstelle der Variablen $ x $ soll die Funktion $ f left (x right) $ unter dem Vorzeichen des Moduls hängen und rechts anstelle des Tripels eine beliebige Zahl $ a $ stehen. Wir bekommen die Gleichung:

[ left | f left (x right) right | = a ]

Nun, wie kann man das lösen? Lassen Sie mich daran erinnern: $ f left (x right) $ ist eine beliebige Funktion, $ a $ ist eine beliebige Zahl. Das heißt in der Regel keine! Zum Beispiel:

[ left | 2x + 1 rechts | = 5 ]

[ left | 10x-5 rechts | = -65 ]

Achten wir auf die zweite Gleichung. Man kann sofort über ihn sagen: Er hat keine Wurzeln. Warum? Das ist richtig, weil es erfordert, dass das Modul einer negativen Zahl entspricht, was niemals vorkommt, da wir bereits wissen, dass das Modul immer eine positive Zahl oder im Extremfall Null ist.

Aber mit der ersten Gleichung macht alles mehr Spaß. Es gibt zwei Möglichkeiten: Entweder steht unter dem Vorzeichen des Moduls ein positiver Ausdruck und dann $ left | 2x + 1 right | = 2x + 1 $, oder dieser Ausdruck ist immer noch negativ, und dann $ left | 2x + 1 rechts | = - links (2x + 1 rechts) = - 2x-1 $. Im ersten Fall wird unsere Gleichung wie folgt umgeschrieben:

[ left | 2x + 1 rechts | = 5 rechtspfeil 2x + 1 = 5 ]

Und plötzlich stellt sich heraus, dass der submodulare Ausdruck $ 2x + 1 $ wirklich positiv ist - er ist gleich der Zahl 5. Das heißt, wir können diese Gleichung ruhig lösen - die resultierende Wurzel wird ein Teil der Antwort sein:

[2x + 1 = 5 Rechtspfeil 2x = 4 Rechtspfeil x = 2 ]

Besonders ungläubige Menschen können versuchen, die gefundene Wurzel in der ursprünglichen Gleichung zu ersetzen und sicherzustellen, dass es eine positive Zahl unter dem Modul gibt.

Betrachten wir nun den Fall eines negativen Submodulausdrucks:

[ left < begin& left | 2x + 1 rechts | = 5 & 2x + 1 lt 0 Ende right. rightarrow -2x-1 = 5 rightarrow 2x + 1 = -5 ]

Hoppla! Alles ist wieder klar: Wir haben angenommen, dass $ 2x + 1 lt 0 $ ist, und als Ergebnis haben wir $ 2x + 1 = -5 $ - tatsächlich ist dieser Ausdruck kleiner als Null. Wir lösen die resultierende Gleichung, während wir bereits sicher sind, dass die gefundene Wurzel zu uns passt:

[2x + 1 = -5 Rechtspfeil 2x = -6 Rechtspfeil x = -3 ]

Insgesamt erhielten wir erneut zwei Antworten: $ x = 2 $ und $ x = 3 $. Ja, die Anzahl der Berechnungen war etwas größer als in der sehr einfachen Gleichung $ left | x right | = 3 $, aber im Grunde hat sich nichts geändert. Vielleicht gibt es also einen universellen Algorithmus?

Ja, ein solcher Algorithmus existiert. Und jetzt nehmen wir es auseinander.

Das Modulschild loswerden

Geben wir die Gleichung $ left | an f left (x right) right | = a $ und $ a ge 0 $ (ansonsten gibt es, wie wir bereits wissen, keine Wurzeln). Dann können Sie das Vorzeichen des Moduls nach folgender Regel entfernen:

[ left | f left (x right) right | = a Rightarrow f left (x right) = pm a ]

Somit teilt sich unsere Gleichung mit einem Modul in zwei, jedoch ohne ein Modul. Das ist die ganze Technologie! Versuchen wir ein paar Gleichungen zu lösen. Beginnen wir damit

[ left | 5x + 4 right | = 10 Rightarrow 5x + 4 = pm 10 ]

Wir werden separat prüfen, wann ein Dutzend mit einem Pluszeichen rechts und wann ein Minuszeichen getrennt ist. Wir haben:

Das ist alles! Wir haben zwei Wurzeln: $ x = 1.2 $ und $ x = -2.8 $. Die ganze Entscheidung nahm buchstäblich zwei Zeilen.

Ok, keine Frage, schauen wir uns etwas Ernsthafteres an:

[ left | 7-5x right | = 13 ]

Öffnen Sie das Modul erneut mit Plus und Minus:

Nochmals ein paar Zeilen - und die Antwort ist fertig! Wie gesagt, an den Modulen ist nichts kompliziert. Sie müssen sich nur ein paar Regeln merken. Deshalb gehen wir weiter und gehen wirklich komplexeren Aufgaben nach.

Bei variabler rechter Seite

Betrachten Sie nun diese Gleichung:

[ left | 3x-2 rechts | = 2x ]

Diese Gleichung unterscheidet sich grundlegend von allen vorhergehenden. Was denn Und die Tatsache, dass rechts vom Gleichheitszeichen der Ausdruck $ 2x $ steht - und wir nicht im Voraus wissen können, ob es positiv oder negativ ist.

Was ist in diesem Fall zu tun? Erstens müssen wir das ein für alle Mal verstehen Wenn die rechte Seite der Gleichung negativ ist, hat die Gleichung keine Wurzeln - Wir wissen bereits, dass das Modul nicht gleich einer negativen Zahl sein kann.

Und zweitens, wenn der rechte Teil immer noch positiv ist (oder gleich Null ist), können Sie genauso vorgehen wie zuvor: Öffnen Sie das Modul einfach separat mit einem Pluszeichen und separat mit einem Minuszeichen.

Daher formulieren wir eine Regel für beliebige Funktionen $ f left (x right) $ und $ g left (x right) $:

[ left | f left (x right) right | = g left (x right) Rightarrow left < begin& f left (x right) = pm g left (x right), & g left (x right) ge 0. end richtig. ]

In Bezug auf unsere Gleichung erhalten wir:

[ left | 3x-2 right | = 2x Rightarrow left < begin& 3x-2 = pm 2x, & 2x ge 0. end richtig. ]

Nun, wir können die $ 2x ge 0 $ -Anforderung irgendwie bewältigen. Am Ende können Sie die Wurzeln, die wir aus der ersten Gleichung erhalten, dumm ersetzen und prüfen, ob die Ungleichung gilt oder nicht.

Deshalb lösen wir die Gleichung selbst:

Nun, und welche dieser beiden Wurzeln erfüllt die Anforderung von $ 2x ge 0 $? Ja beides Daher gehen zwei Zahlen zurück: $ x = <4> / <3> , $ und $ x = 0 $. Das ist die ganze Lösung :)

Ich vermute, dass sich einer der Studenten schon gelangweilt hat? Betrachten Sie eine noch komplexere Gleichung:

Obwohl es bösartig aussieht, ist es tatsächlich die gleiche Gleichung der Form "Modul ist gleich Funktion":

[ left | f left (x right) right | = g left (x right) ]

Und es wird auf die gleiche Weise gelöst:

Wir werden uns später mit Ungleichheit befassen - sie ist irgendwie zu bösartig (eigentlich einfach, aber wir werden sie nicht lösen). Es ist zwar besser, mit den erhaltenen Gleichungen umzugehen. Betrachten Sie den ersten Fall - dies ist, wenn das Modul mit einem Pluszeichen erweitert wird:

Hier und bei einem Igel ist klar, dass Sie alles auf der linken Seite einsammeln, ähnliche mitbringen und sehen müssen, was passiert. Und das passiert:

Faktor $ <^ <2 >> $ aus der Klammer und wir erhalten eine sehr einfache Gleichung:

Hier haben wir die wichtige Eigenschaft des Produkts verwendet, um das ursprüngliche Polynom in Faktoren zu zerlegen: Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist.

Nun werden wir die zweite Gleichung auf die gleiche Weise behandeln, die durch Erweitern des Moduls mit einem Minuszeichen erhalten wird:

Wieder das Gleiche: Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Wir haben:

Nun, wir haben drei Wurzeln: $ x = 0 $, $ x = 1,5 $ und $ x = <2> / <3> , $. Was wird aus diesem Set für die endgültige Antwort? Denken Sie dazu daran, dass wir eine zusätzliche Einschränkung in Form von Ungleichung haben:

Wie kann diese Anforderung berücksichtigt werden? Ja, wir ersetzen nur die gefundenen Wurzeln und überprüfen: Die Ungleichung gilt für diese $ x $ oder nicht. Wir haben:

Daher passt die Wurzel $ x = 1.5 $ nicht zu uns. Und nur zwei Wurzeln gehen zurück:

Wie Sie sehen, gab es auch in diesem Fall nichts Kompliziertes - Gleichungen mit Modulen werden immer vom Algorithmus gelöst. Es ist nur notwendig, Polynome und Ungleichungen gut zu verstehen. Deshalb gehen wir zu komplexeren Aufgaben über - es wird bereits zwei Module geben.

Gleichungen mit zwei Modulen

Bisher haben wir nur die einfachsten Gleichungen untersucht - es gab ein Modul und etwas anderes. Wir haben dieses "etwas anderes" zu einem anderen Teil der Ungleichung geschickt, weg vom Modul, so dass am Ende alles auf eine Gleichung der Form $ left | hinausläuft f left (x right) right | = g left (x right) $ oder noch einfacher $ left | f left (x right) right | = a $.

Aber der Kindergarten ist vorbei - es ist Zeit, über etwas Ernstes nachzudenken. Beginnen wir mit den Gleichungen dieses Typs:

[ left | f left (x right) right | = left | g left (x right) right | ]

Diese Gleichung hat die Form „Modul ist gleich Modul“. Ein grundlegend wichtiger Punkt ist das Fehlen anderer Begriffe und Faktoren: Nur ein Modul links, ein weiteres rechts - und nichts weiter.

Jemand wird jetzt denken, dass solche Gleichungen komplizierter gelöst sind als das, was wir bisher studiert haben. Und hier ist es nicht: Diese Gleichungen werden noch einfacher gelöst. Hier ist die Formel:

[ left | f left (x right) right | = left | g left (x right) right | Rightarrow f left (x right) = pm g left (x right) ]

Das ist alles! Wir setzen submodulare Ausdrücke einfach gleich, indem wir ein Plus- oder Minuszeichen vor eines davon setzen. Und dann lösen wir die beiden erhaltenen Gleichungen - und die Wurzeln sind fertig! Keine zusätzlichen Einschränkungen, keine Ungleichungen usw. Alles ist sehr einfach.

Versuchen wir dieses Problem zu lösen:

[ left | 2x + 3 right | = left | 2x-7 rechts | ]

Grundschule, Watson! Wir zeigen die Module:

[ left | 2x + 3 right | = left | 2x-7 right | Rightarrow 2x + 3 = pm left (2x-7 right) ]

Wir betrachten jeden Fall separat:

Es gibt keine Wurzeln in der ersten Gleichung. Denn wann ist $ 3 = -7 $? Was sind die Werte von $ x $? "Was zum Teufel ist $ x $? Wurdest du geraucht? Es gibt überhaupt kein $ x $ “, sagen Sie. Und du wirst Recht haben. Wir haben eine von der Variablen $ x $ unabhängige Gleichheit erhalten, und die Gleichheit selbst ist falsch. Daher gibt es keine Wurzeln. :)

Mit der zweiten Gleichung ist alles etwas interessanter, aber auch sehr, sehr einfach:

[2x + 3 = -2x + 7 Rechter Pfeil 4x = 4 Rechter Pfeil x = 1 ]

Wie Sie sehen, wurde alles buchstäblich in ein paar Zeilen entschieden - von der linearen Gleichung haben wir keine andere erwartet. :)

Die endgültige Antwort lautet: $ x = 1 $.

Und wie? Ist es schwierig Natürlich nicht. Versuchen wir etwas anderes:

Wieder haben wir eine Gleichung der Form $ left | f left (x right) right | = left | g left (x right) right | $. Deshalb schreiben wir es sofort um und enthüllen das Vorzeichen des Moduls:

Vielleicht wird jetzt jemand fragen: „Hey, was für ein Unsinn? Warum steht „Plus oder Minus“ am rechten und nicht am linken Ausdruck? Ruhig, jetzt werde ich alles erklären. In der Tat mussten wir unsere Gleichung auf gute Weise wie folgt umschreiben:

Dann müssen Sie die Klammern öffnen, alle Terme auf eine Seite des Gleichheitszeichens verschieben (da die Gleichung in beiden Fällen offensichtlich quadratisch ist) und dann die Wurzeln weiter finden. Aber Sie müssen zugeben: Wenn das Plus oder Minus vor den drei Begriffen steht (insbesondere wenn einer dieser Begriffe ein quadratischer Ausdruck ist), sieht es irgendwie komplizierter aus als die Situation, in der das Plus oder Minus nur vor den beiden Begriffen steht.

Nichts hindert uns jedoch daran, die ursprüngliche Gleichung wie folgt umzuschreiben:

[ left | x-1 right | = left | <^ <2 >> -3x + 2 right | Rightarrow left | <^ <2 >> -3x + 2 right | = left | x-1 right | ]

Was ist passiert? Ja, nichts Besonderes: Einfach die linke und rechte Seite tauschen. Eine Kleinigkeit, die am Ende unser Leben ein wenig vereinfachen wird. :)

Im Allgemeinen lösen wir diese Gleichung, indem wir Optionen mit Plus und Minus betrachten:

Die erste Gleichung hat Wurzeln $ x = 3 $ und $ x = 1 $. Die Sekunde ist im Allgemeinen ein genaues Quadrat:

Daher hat es eine einzige Wurzel: $ x = 1 $. Diese Wurzel haben wir aber schon früher bekommen. Somit gehen nur zwei Zahlen zur endgültigen Antwort:

Mission erfüllt! Sie können es aus dem Regal nehmen und einen Kuchen essen. Es sind 2 davon, dein Durchschnitt. :)

Wichtiger Hinweis. Das Vorhandensein der gleichen Wurzeln für verschiedene Varianten der Modulerweiterung bedeutet, dass die ursprünglichen Polynome faktorisiert werden, und unter diesen Faktoren wird es sicherlich einen gemeinsamen geben. In der Tat:

Eine der Moduleigenschaften: $ left | a cdot b right | = left | a right | cdot left | b right | $ (dh das Produktmodul ist gleich dem Produkt der Module), so dass die ursprüngliche Gleichung wie folgt umgeschrieben werden kann:

[ left | x-1 right | = left | x-1 right | cdot left | x-2 rechts | ]

Wie Sie sehen, haben wir wirklich einen gemeinsamen Faktor. Wenn Sie nun alle Module auf einmal sammeln, können Sie diesen Faktor aus der Klammer streichen:

Ну а теперь вспоминаем, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

[left[ egin& left| x-1 ight|=0, & left| x-2 ight|=1. end ight.]

Таким образом, исходное уравнение с двумя модулями свелось к двум простейшим уравнениям, о которых мы говорили в самом начале урока. Такие уравнения решаются буквально в пару строчек.:)

Данное замечание, возможно, покажется излишне сложным и неприменимым на практике. Однако в реальности вам могут встретиться куда более сложные задачи, нежели те, что мы сегодня разбираем. В них модули могут комбинироваться с многочленами, арифметическими корнями, логарифмами и т.д. И в таких ситуациях возможность понизить общую степень уравнения путём вынесения чего-либо за скобку может оказаться очень и очень кстати.:)

Теперь хотелось бы разобрать ещё одно уравнение, которое на первый взгляд может показаться бредовым. На нём «залипают» многие ученики — даже те, которые считают, что хорошо разобрались в модулях.

Trotzdem ist diese Gleichung noch einfacher zu lösen als zuvor. Und wenn Sie verstehen, warum, dann erhalten Sie einen weiteren Trick, um Gleichungen mit Modulen schnell zu lösen.

Nein, das ist kein Tippfehler: Zwischen den Modulen besteht genau ein Plus. Und wir müssen herausfinden, für welches $ x $ die Summe der beiden Module Null ist. :)

Was ist das problem Und das Problem ist, dass jedes Modul eine positive Zahl oder im Extremfall Null ist. Und was passiert, wenn Sie zwei positive Zahlen addieren? Offensichtlich wieder eine positive Zahl:

Die letzte Zeile kann zu dem Gedanken führen: Der einzige Fall, in dem die Summe der Module gleich Null ist, ist, wenn jedes Modul gleich Null ist:

Und wann ist das Modul gleich Null? Nur in einem Fall - wenn der Ausdruck des Submoduls Null ist:

[x- <^ <3 >> = 0 Rightarrow x left (1- <^ <2 >> right) = 0 Rightarrow left [ begin& x = 0 & x = pm 1 Ende richtig. ]

[<^ <2 >> + x-2 = 0 Rechtspfeil links (x + 2 rechts) links (x-1 rechts) = 0 Rechtspfeil links [ begin& x = -2 & x = 1 Ende richtig. ]

Wir haben also drei Punkte, an denen das erste Modul auf Null gesetzt wird: 0, 1 und -1, sowie zwei Punkte, an denen das zweite Modul auf Null gesetzt wird: -2 und 1. Wir brauchen jedoch beide Module gleichzeitig auf Null, also unter Gefundene Zahlen müssen Sie diejenigen auswählen, die in beiden Sätzen sind. Offensichtlich ist diese Zahl nur eine: $ x = 1 $ - dies ist die endgültige Antwort.

Spaltmethode

Nun, wir haben bereits eine Reihe von Aufgaben erledigt und viele Tricks gelernt. Glaubst du, das ist alles? Und nein! Nun betrachten wir den endgültigen Empfang - und gleichzeitig den wichtigsten. Es geht darum, Gleichungen mit einem Modul aufzuteilen. Worum geht es? Lassen Sie uns ein wenig zurückgehen und eine einfache Gleichung betrachten. Zum Beispiel das:

[ left | 3x-5 rechts | = 5-3x ]

Im Prinzip wissen wir bereits, wie man eine solche Gleichung löst, da dies eine Standardkonstruktion der Form $ left | ist f left (x right) right | = g left (x right) $. Aber lassen Sie uns versuchen, diese Gleichung aus einem etwas anderen Blickwinkel zu betrachten. Betrachten Sie genauer den Ausdruck unter dem Vorzeichen des Moduls. Lassen Sie mich daran erinnern, dass der Modul einer beliebigen Zahl der Zahl selbst entsprechen oder dieser Zahl entgegengesetzt sein kann:

[ left | a right | = left < begin& a, quad a ge 0, & -a, quad a lt 0. end richtig. ]

Eigentlich ist diese Mehrdeutigkeit das ganze Problem: Da sich die Zahl unter dem Modul ändert (es hängt von der Variablen ab), ist uns nicht klar, ob es positiv oder negativ ist.

Aber was ist, wenn die ursprüngliche Anforderung war, dass diese Zahl positiv ist? Zum Beispiel benötigen wir $ 3x-5 gt 0 $ - in diesem Fall erhalten wir garantiert eine positive Zahl unter dem Vorzeichen des Moduls, und wir können dieses Modul selbst vollständig entfernen:

[3x-5 gt 0 Rightarrow left | 3x-5 rechts | = 3x-5 ]

Somit wird unsere Gleichung zu einer linearen Gleichung, die leicht gelöst werden kann:

[3x-5 = 5-3x Rightarrow 6x = 10 Rightarrow x = frac <5> <3> ]

All diese Überlegungen sind allerdings nur unter der Bedingung $ 3x-5 gt 0 $ sinnvoll - wir haben diese Bedingung selbst eingeführt, um das Modul eindeutig zu verdeutlichen. Setzen Sie deshalb das gefundene $ x = frac <5> <3> $ in diese Bedingung ein und überprüfen Sie:

[x = frac <5> <3> Rightarrow 3x-5 = 3 cdot frac <5> <3> -5 = 5-5 = 0 ]

Es stellt sich heraus, dass mit dem angegebenen Wert von $ x $ unsere Anforderung nicht erfüllt ist, weil es stellte sich heraus, dass der Ausdruck Null ist, und wir müssen ihn streng größer als Null sein. Traurigkeit. :(

Aber keine große Sache! Immerhin gibt es noch die Option $ 3x-5 lt 0 $. Außerdem: Es gibt auch den Fall von $ 3x-5 = 0 $ - dies muss ebenfalls berücksichtigt werden, da sonst die Lösung unvollständig ist. Betrachten Sie also den Fall von $ 3x-5 lt 0 $:

[3x-5 lt 0 Rightarrow left | 3x-5 rechts | = 5-3x ]

Offensichtlich wird das Modul mit einem Minuszeichen geöffnet. Aber dann entsteht eine seltsame Situation: Der gleiche Ausdruck wird sowohl links als auch rechts in der ursprünglichen Gleichung hervorstechen:

Ich frage mich, welche Art von $ x $ Ausdruck $ 5-3x $ gleich dem Ausdruck $ 5-3x $ ist. Aus solchen Gleichungen hätte sogar der Captain den Speichel verschluckt, aber wir wissen etwas: Diese Gleichung ist eine Identität, d.h. Dies gilt für jeden Wert der Variablen!

Und das bedeutet, dass jedes $ x $ zu uns passt. Wir haben jedoch eine Einschränkung:

[3x-5 lt 0 Rightarrow 3x lt 5 Rightarrow x lt frac <5> <3> ]

Mit anderen Worten, die Antwort ist keine einzelne Zahl, sondern ein ganzes Intervall:

[x in left (- infty, frac <5> <3> right) ]

Schließlich bleibt noch ein weiterer Fall zu betrachten: $ 3x-5 = 0 $. Alles ist einfach: Unter dem Modul gibt es Null und unter dem Null-Modul auch Null (dies folgt direkt aus der Definition):

[3x-5 = 0 Rightarrow left | 3x-5 rechts | = 0 ]

Aber dann ist die ursprüngliche Gleichung $ left | 3x-5 right | = 5-3x $ wird wie folgt umgeschrieben:

[0 = 3x-5 Rightarrow 3x = 5 Rightarrow x = frac <5> <3> ]

Wir haben diese Wurzel bereits oben, als wir den Fall von $ 3x-5 gt 0 $ betrachteten. Außerdem ist diese Wurzel eine Lösung für die Gleichung $ 3x-5 = 0 $ - dies ist eine Einschränkung, die wir selbst eingeführt haben, um das Modul zurückzusetzen. :)

So sind wir neben dem Intervall auch mit der Zahl am Ende dieses Intervalls zufrieden:

Wurzeln in Gleichungen mit einem Modul kombinieren

Gesamte endgültige Antwort: $ x in left (- infty, frac <5> <3> right] $. Es ist nicht sehr bekannt, solchen Mist in der Antwort auf eine ziemlich einfache (im Wesentlichen lineare) Gleichung mit einem Modul zu sehen Nun, gewöhnen Sie sich daran: Die Komplexität des Moduls liegt in der Tatsache, dass sich die Antworten in solchen Gleichungen als völlig unvorhersehbar herausstellen können.

Viel wichtiger als der andere: Wir haben gerade einen universellen Algorithmus zum Lösen einer Gleichung mit modulate gefunden! Und dieser Algorithmus besteht aus den folgenden Schritten:

  1. Setzen Sie jedes Modul in der Gleichung auf Null. Wir bekommen einige Gleichungen
  2. Löse alle diese Gleichungen und markiere die Wurzeln auf der Zahlenlinie. Infolgedessen wird die Zeile in mehrere Intervalle unterteilt, in denen alle Module einzeln erweitert werden.
  3. Lösen Sie die ursprüngliche Gleichung für jedes Intervall und kombinieren Sie die erhaltenen Antworten.

Das ist alles! Es bleibt nur eine Frage: Woher sollen die Wurzeln im ersten Schritt selbst stammen? Angenommen, wir haben zwei Wurzeln: $ x = 1 $ und $ x = 5 $. Sie werden die Zahlenreihe in 3 Teile teilen:

Teilen einer numerischen Achse in Intervalle mit Punkten

Nun, wie sind die Intervalle hier? Es ist klar, dass es drei davon gibt:

  1. Ganz links: $ x lt 1 $ - die Einheit selbst gibt das Intervall nicht ein,
  2. Zentral: $ 1 le x lt 5 $ - hier befindet sich die Einheit im Intervall, die fünf sind jedoch nicht enthalten.
  3. Ganz rechts: $ x ge 5 $ - die fünf sind nur hier enthalten!

Ich denke, Sie haben das Muster bereits verstanden. Jedes Intervall enthält das linke Ende und nicht das rechte.

Auf den ersten Blick mag eine solche Aufzeichnung unangenehm, unlogisch und im Allgemeinen irgendwie verrückt erscheinen. Aber glauben Sie mir: Nach einer kurzen Schulung werden Sie feststellen, dass dieser Ansatz am zuverlässigsten ist und gleichzeitig die eindeutige Offenlegung von Modulen nicht beeinträchtigt. Es ist besser, ein solches Schema zu verwenden, als jedes Mal darüber nachzudenken: Geben Sie das linke / rechte Ende des aktuellen Intervalls an oder „werfen“ Sie es zum nächsten.

Damit ist die Lektion beendet. Laden Sie Aufgaben für eine unabhängige Lösung herunter, trainieren Sie, vergleichen Sie sie mit den Antworten - und wir sehen uns in der nächsten Lektion, die sich mit Ungleichheiten mit Modulen befasst. :)

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